Question n°218 : Démontrer l'expression de l'énergie mécanique d'un objet soumis à une force centrale
Question n°218 : Démontrer l'expression de l'énergie mécanique d'un objet soumis à une force centrale
Démonstration :
On considère un objet représenté par un point \(\displaystyle M\) de masse \(\displaystyle m\) soumis à une force centrale \(\displaystyle \overrightarrow{F}\) dirigée vers un point fixe \(\displaystyle O\) de masse \(\displaystyle M_O\).
Le système étudié étant l'objet, dans le référentiel \(\displaystyle O\) supposé galiléen.
L'énergie mécanique du sytsème, notée \(\displaystyle E_m\) s'exprime par \(\displaystyle E_m=E_c+E_p\).
L'énergie cinétique s'exprime par \(\displaystyle E_c=\dfrac{1}{2}mv^2\).
L'énergie potentielle est déduite du fait que la force de gravitation \(\displaystyle F=\dfrac{GMm}{r^2}\) soit une force conservative : elle dérive d'un potentiel : \(\displaystyle F=\overrightarrow{\text{grad}}\left(E_p\right)\) donc \(\displaystyle E_p=\dfrac{GmM_O}{r}\).
L'énergie mécanique s'écrit donc :
\(\displaystyle \begin{align*} E_m&=E_c+E_p \\ E_m&=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{GmM_O}{r} \\ \end{align*} \)
En coordonnées polaires, les vecteurs \(\displaystyle \overrightarrow{OM}\) et \(\displaystyle \overrightarrow{v}\) s'expriment par :
\(\displaystyle \begin{align*} \overrightarrow{OM}&=r\overrightarrow{e_r} & \overrightarrow{v}&=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt} \\ & & \overrightarrow{v}&=\dfrac{d\left(r\overrightarrow{e_r}\right)}{dt} \\ & & \overrightarrow{v}&=\dfrac{dr}{dt}\overrightarrow{e_r}+r\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt} \\ & & \overrightarrow{v}&=\dot r\overrightarrow{e_r}+r\dfrac{d\theta}{dt}\overrightarrow{e_{\theta}} \\ & & \overrightarrow{v}&=\dot r\overrightarrow{e_r}+r\dot\theta\overrightarrow{e_{\theta}} \\ \end{align*} \)
L'énergie mécanique s'écrit donc :
\(\displaystyle \begin{align*} E_m&=\dfrac{1}{2}m\left[\left(\dot r\right)^2+\left(r\dot\theta\right)^2\right]+\dfrac{GmM_O}{r} \\ E_m&=\dfrac{m\dot r^2}{2}+r^2\dot\theta^2+\dfrac{GmM_O}{r} \\ \end{align*} \)
Elle peut aussi s'exprimer en fonction de la constante de mouvement \(\displaystyle C=r^2\dot\theta\) par \(\displaystyle E_m=\dfrac{m\dot r^2}{2}+\dfrac{mC^2}{2r^2}+\dfrac{GmM_O}{r}\).